الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضياتالتيتمتدجذورهاإلىالحاجةلحلالمعادلاتالتيلايوجدلهاحلفيمجموعةالأعدادالحقيقية.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،تمثيلهاالبياني،وكيفيةإجراءالعملياتالحسابيةعليها.

1.تعريفالعددالمركب

العددالمركبهوعدديُكتبعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aوbأعدادحقيقية.
-iهيالوحدةالتخيلية،وتحققالمعادلة(i^2=-1).
-يُسمىaالجزءالحقيللعددالمركب(RealPart).
-يُسمىbالجزءالتخيليللعددالمركب(ImaginaryPart).

2.التمثيلالبيانيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)علىالمستوىالإحداثي(المستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقي(محورالسينات)يمثلالجزءالحقيقي(a).
-المحورالرأسي(محورالصادات)يمثلالجزءالتخيلي(b).
-يُمكنرسمالعددالمركبكنقطةفيالمستوىأوكمتجهمنالأصلإلىالنقطة((a,شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersللأغراضالتعليميةوالبحثيةb)).

3.العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

الجمعوالطرح

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]

الضرب

يتمضربعددينمركبينباستخدامخاصيةالتوزيعومراعاةأن(i^2=-1):
[(a+bi)\times(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]

القسمة

لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(ComplexConjugate)لإزالةالوحدةالتخيليةمنالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]

4.الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة

يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالإحداثياتالقطبية:
[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)]
حيث:
-rهوالمقياس(Modulus)ويُحسببالعلاقة(r=\sqrt{ a^2+b^2}).
-θهيالزاوية(Argument)وتُحسببالعلاقة(\theta=\tan^{ -1}\left(\frac{ b}{ a}\right)).

5.تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:
-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالكهربائيةالمتناوبة.
-الفيزياء:دراسةالموجاتوالاهتزازات.
-الرسومياتالحاسوبية:تمثيلالحركاتالدورانية.

الخاتمة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتقدمحلولاًللمعادلاتالتيلايمكنحلهافينطاقالأعدادالحقيقية.بفهمخصائصهاوتطبيقاتها،يمكنللطلابوالباحثينالاستفادةمنهافيمجالاتمتعددة.